Question

（1）求y=

x2+5

x2+4

的最小值；
（2）若a＞0，b＞0，且a²+

b2

2

=1，求a

1+b2

的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令

x2+4

=t≥2，則f（t）=

t2+1

t

=t+

1

t

，利用導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)f（t）在[2，+∞）單調(diào)性質(zhì)；
（2）變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）令

x2+4

=t≥2，則f（t）=

t2+1

t

=t+

1

t

，
f′（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，
∴函數(shù)f（t）在[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=2時，函數(shù)f（t）取得最小值，f（2）=

5

2

．
（2）∵a＞0，b＞0，且a²+

b2

2

=1，
∴a

1+b2

=

a2(1+b2)

=

2a2• 1+b2 2

=

2

a2• 1+b2 2

≤

2

•

[ a2+ 1 2 + b2 2 2 ]2

=

2

( 1+ 1 2 2 )2

=

3 2

4

，
當(dāng)

a2= 1+b2 2 a2+ b2 2 =1 a＞0，b＞0

時，解得a=

3

2

，b=

2

2

時，
a

1+b2

的最大值為

3 2

4

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．