選修4-5:不等式證明選講
已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求a的取值范圍.

解:由柯西不等式得
即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2…(4分)
將條件代入可得5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2…(6分)
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
可知時(shí)amax=2,時(shí),amin=1,
所以a的取值范圍是[1,2].…(10分)
分析:由柯西不等式得,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,將條件代入,我們就可以求出a的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):柯西不等式的特點(diǎn):一邊是平方和的積,而另一邊為積的和的平方,因此,當(dāng)欲證不等式的一邊視為“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”,再結(jié)合不等式另一邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去嘗試構(gòu)造.
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