設(shè)f(x)=
x3
3
,g(x)=t
2
3
x-
2
3
t(t∈R)
(Ⅰ)當(dāng)t=8時(shí),求函數(shù)y=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求證:當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥g(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.
分析:(Ⅰ)先對(duì)函數(shù)y=f(x)-g(x)進(jìn)行求導(dǎo),然后令導(dǎo)函數(shù)大于0(或小于0)求出x的范圍,根據(jù)g′(x)>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,g′(x)<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,即可得到答案.
(Ⅱ)令h(x)=
x3
3
-t 
2
3
x-
2
3
t
(x>0).利用導(dǎo)數(shù)求出fh(x)最小值,從而證得當(dāng)t>0時(shí),f(x)≥g(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)x都成立.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)t=8時(shí),g(x)=4x-
16
3

∴y=f(x)-g(x)=
x3
3
-4x+
16
3
,y′=x2-4
令y′>0,得x<-2或x>2,令y′<0,得-2<x<2
故所求函數(shù)y=f(x)-g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2)和(2,+∞),
單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,2)
(Ⅱ)證明:令h(x)=f(x)-g(x)=
x3
3
-t 
2
3
x-
2
3
t
(x>0)
由h′(x)=x2-t 
2
3
,因?yàn)閠>0,若h′(x)=x2-t 
2
3
=0
,解得x=t 
1
3

當(dāng)x∈(t 
1
3
,+∞)時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x∈(0,t 
1
3
)時(shí),h′(x)<0
當(dāng)x變化時(shí),h(x)與h′(x)的變化情況如下表:
x (0,t 
1
3
)
t 
1
3
 
(t 
1
3
,+∞)
h′(x) - 0 +
h(x) 極小值
∴h(x)在(0,+∞)內(nèi)有唯一的極小值,故該極小值也是最小值,
∴h(x)在(0,+∞)上的最小值h(t 
1
3
)=0,故當(dāng)x>0時(shí),f(x)-g(x)≥0對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.
故當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥g(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t都成立.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力,難度較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…+
x2011
2011
g(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+
x4
4
-…-
x2011
2011
,設(shè)F(x)=f(x+3)•g(x-3),且函數(shù)F(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內(nèi),則b-a的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…+
x2013
2013
,設(shè)F(x)=f(x+4),且函數(shù)F(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內(nèi),圓x2+y2=b-a的面積的最小值是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知常數(shù)a、b、c都是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=
x3
3
+
a
2
x2+bx+c
的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)
(Ⅰ)設(shè)a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè) f′(x)=(x-γ)(x-β),且1<γ≤β<2,求f′(1)•f′(2)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…+
x2013
2013
,設(shè)F(x)=f(x+4),且函數(shù)F(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內(nèi),則圓x2+y2=b-a的面積的最小值是
 

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