Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，PA=PD=AD且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD； 
（Ⅱ）在線段PB上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角，若存在，求出BM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定定理：連接AC，只需證明EF∥PA，利用中位線定理即可得證；
（Ⅱ）假設(shè)在線段PB上是存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角．以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)F為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算．

解答： （Ⅰ）證明：ABCD為正方形，
連結(jié)AC∩BD=F，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)，
∴在△CPA中EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）假設(shè)在線段PB上是存在點(diǎn)M，
使得二面角A-MC-B為直二面角．
在四棱錐P-ABCD中，
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，
PA=PD=AD且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)．
∴以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)F為y軸，
以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=PD=AD=2，則A（1，0，0），B（1，2，0），
C（-1，2，0），P（0，0，

3

），
設(shè)M（a，b，c），

BM

=t

MP

，
則

BM

=(a-1，b-2，c)，

MP

=（-a，-b，

3

-c），
∵

BM

=t

MP

，∴

a-1=-ta b-2=-tb c=( 3 -c)t

，解得

a= 1 t+1 b= 2 t+1 c= 3 t t+1

，
∴

AM

=（

1

t+1

-1，

2

t+1

，

3 t

t+1

），

AC

=(-2，2，0)，

BM

=（

1

t+1

-1，

2

t+1

-2，

3 t

t+1

），

BC

=(-2，0，0)，
設(shè)平面AMC的法向量

m

=(x，y，z)，則

m

•

AM

=0，

m

•

BM

=0，
∴

( 1 t+1 -1)x+ 2 t+1 y+ 3 t t+1 z=0 -2x+2y=0

，∴

m

=（1，1，

t-2

3 t

），
設(shè)平面BMC的法向量

n

=(x1，y1，z1)，則

n

•

BM

=0，

n

•

BC

=0，
∴

( 1 t+1 -1)x1+( 2 t+1 -2)y1+ 3 t t+1 z1=0 -2x1=0

，
∴

n

=(0，1，

2

3

)，
∵二面角A-MC-B為直二面角，
∴

m

•

n

=1+

t-2

3 t

•

2

3

=0，
解得t=

4

5

，
∴存在M點(diǎn)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

9

，

10

9

，

4 3

9

）．
|

BM

|=

( 5 9 -1)2+( 10 9 -2)2+( 4 3 9 )2

=

8 2

9

，
∴BM的長(zhǎng)為

8 2

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的點(diǎn)的確定，解題時(shí)要合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運(yùn)用．