Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，探究零點(diǎn)的個數(shù)；

（2）①證明：；

②當(dāng)時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見證明；②見證明

【解析】

（1）利用導(dǎo)函數(shù)對a進(jìn)行討論判斷即可．
（2）①對所證函數(shù)化簡，即證明，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，求解最值問題即可證明；②用（1）的結(jié)論，求出零點(diǎn)，得出單調(diào)性，計算最值，然后用進(jìn)行替換，然后用去掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一次式，代入即可證明.

（1）解：，定義域為.

二次函數(shù)的判別式為，對稱軸為.

當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像開口向下，判別式為，

所以在上有1個零點(diǎn)；

當(dāng)時，在上無零點(diǎn)；

當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像開口向上，

①，即時，在上無零點(diǎn)；

②，即時，在上有1個零點(diǎn)；

③，即時，在上有2個不同的零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)時，在上無零點(diǎn)；

當(dāng)時，在上有1個零點(diǎn)；

當(dāng)時，在上有2個不同的零點(diǎn)；

（2）①要證明：，只需要證明：.

令，定義域為，，

所以，不難得到的最大值為，所以成立；

②由（1）得，當(dāng)時，在上有1個零點(diǎn)；設(shè)零點(diǎn)為，

則，解得，，

進(jìn)一步，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以

（※）

由（2）①得，

（※） .