Question

已知函數(shù)f（x）=

2-x

x+1

；
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上的單調(diào)性，并給出證明；
（2）是否存在負數(shù)x₀，使得f（x₀）=3x0成立，若存在求出x₀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把f（x）化簡，然后用定義給出證明；
（2）由f（x）的單調(diào)性求出f（x）在x∈（-∞，-1）∪（-1，0）上的值域，求出3^x在x∈（-∞，-1）∪（-1，0）上的值域，若兩值域交集非空，則存在x₀，否則不存在．

解答：解：（1）f(x)=

3

x+1

-1，∴f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，
下面用定義給出證明：
設(shè)x₁＜x₂＜-1，則f(x1)-f(x2)=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₂-x₁＞0，x₁+1＜0，x₂+1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)．
（2）∵x₀＜0時，0＜3x0＜1，
由（1）知，f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上為減函數(shù)，
當(dāng)x＜-1時，f（x）＜-1，當(dāng)-1x＜0時，x＞2，故當(dāng)x₀＜0時，f（x）＞2或f（x）＜-1，
故不存在負數(shù)x₀，使得f（x₀）=3x0成立．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，注意體會定義在判斷單調(diào)性中的應(yīng)用．