Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)；
①若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程；
②設(shè)K是①中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對(duì)第①問，由題干條件及橢圓定義，得a，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得b²，從而得橢圓的方程；
對(duì)第②問，設(shè)動(dòng)點(diǎn)K（x₀，y₀），設(shè)F₁K的中點(diǎn)為M（x，y），用x，y分別表示x₀，y₀，再將坐標(biāo)（x₀，y₀）代入橢圓方程中，即得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：①由橢圓的定義知，|AF₁|+|AF₂|=2a，即4=2a，得a²=4，
從而橢圓C的方程可寫成

x2

4

+

y2

b2

=1．
將A的坐標(biāo)(1，

3

2

)代入上式中，得

12

4

+

( 3 2 )2

b2

=1，得b²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
②由①知，F(xiàn)₁的坐標(biāo)為（-1，0），設(shè)動(dòng)點(diǎn)K（x₀，y₀），線段F₁K的中點(diǎn)為M（x，y），如右圖所示．
則由中點(diǎn)公式，有

x= -1+x0 2 y= 0+y0 2

，變形為

x0=2x+1 y0=2y

，
將上式代入

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1中，得

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1，
即得線段F₁K中點(diǎn)的軌跡方程為(x+

1

2

)2+

y2

3 4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的方程，橢圓的定義，軌跡方程的求法，利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的一般步驟是：
（1）設(shè)軌跡上的點(diǎn)為M（x，y），其他點(diǎn)（即相關(guān)點(diǎn)）設(shè)為（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂）等；
（2）尋找x，y與相關(guān)點(diǎn)的關(guān)系，用x，y表示相關(guān)點(diǎn)；
（3）將相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程中，化簡(jiǎn)，整理，即得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．