Question

【題目】已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，把方程稱為函數(shù)的特征方程，特征方程的兩個實根，稱為的特征根.

（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）求表達(dá)式；

（3）把函數(shù)，的最大值記作、最小值記作，令，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)：當(dāng)時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)（2）（3）

【解析】

（1）分和討論即可；

（2）將表達(dá)式通分，再利用韋達(dá)定理代入即可；

（3）先求出在上的最值，再分析函數(shù)的單調(diào)性，求出，然后分離參數(shù)，求出參數(shù)的范圍.

（1）當(dāng)時，，

所以，即為奇函數(shù)；

當(dāng)時，因，，

所以，，

所以不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

（2）由題意，方程的兩個實根、，

即方程的兩個實根為、，，

∴，，，

∴

（3）由，則，

由（2）知方程的兩個實根為、，

則當(dāng)時，恒成立，所以，恒成立

∴函數(shù)在上是單調(diào)遞增，

∴，

由恒成立，即恒成立，

∴恒成立，又，，則，

∴，

故的取值范圍為.