Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1 ， x2 ， 則e e 的最大值為（ ）
A.
B.2（ln2﹣1）
C.
D.ln2﹣1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：令g（x）=f（f（x））= ， ∵y=f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）=f（f（x））在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
做出g（x）=f（f（x））的函數(shù)圖象如圖所示：

∵方程f（f（x））=a（a＞0）恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1 ， x2 ，
不妨設(shè)x1＜x2 ， 則x1≤﹣1，x2≥0，且f（x1）=f（x2），即x12=e ．
∴e e =e x12 ，
令h（x1）=e x12 ， 則h′（x1）=e （x12+2x1）=e x1（x1+2），
∴當(dāng)x1＜﹣2時(shí)，h′（x1）＞0，當(dāng)﹣2＜x1＜﹣1時(shí)，h′（x1）＜0，
∴h（x1）在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞增，在（﹣2，﹣1）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x1=﹣2時(shí)，h（x1）取得最大值h（﹣2）= ．
故選C．
求出f（f（x））的解析式，根據(jù)f（f（x））的函數(shù)圖象判斷x1 ， x2的范圍和兩根的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)h（x1）=e e ，求出h（x1）的最大值即可．