Question

已知的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，則下列結論正確的是（ ）
A．展開式中共有八項
B．展開式中共有四項為有理項
C．展開式中沒有常數項
D．展開式中共有五項為無理項

Answer 1

【答案】分析：由題意通過前三項系數的絕對值依次成等差數列，求出n的值，然后判斷二項式的項數，有沒有有理項，常數項，是否存在展開式中共有五項為無理項，得到結果．
解答：解：已知的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，
所以，解得n=8，
展開式中共有九項，A不正確；
展開式的第k+1項為C^k₈（ ）^8-k（-）^k
=（-）^kC^k₈•x •x-=（-1）^k•C^k₈•x ．
若第k+1項為常數項，
當且僅當 =0，即3k=16，
∵k∈Z，∴這不可能，∴展開式中沒有常數項．C正確；
若第k+1項為有理項，當且僅當 為整數，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展開式中的有理項共有三項，它們是：
T₁=x⁴，T₅=x，T₉=x^-2．所以展開式中共有四項為有理項，不正確．
展開式中共有五項為無理項．顯然不正確．
故選C．
點評：本題是中檔題，考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，考查計算能力，�？碱}型．