Question

設橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，A是橢圓上的一點，AF₂⊥F₁F₂，原點O到直線AF₁的距離為．

(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)設Q₁，Q₂為橢圓上的兩個動點，OQ₁⊥OQ₂，過原點O作直線Q₁Q₂的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證法一：由題設及，，不妨設點，其中．由于點在橢圓上，有，即． 　　解得，從而得到． 　　直線的方程為，整理得． 　　由題設，原點到直線的距離為，即， 　　將代入上式并化簡得，即． 　　證法二：同證法一，得到點的坐標為． 　　過點作，垂足為，易知，故． 　　由橢圓定義得，又， 　　所以， 　　解得，而，得，即． 　　(Ⅱ)解法一：設點的坐標為． 　　當時，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，． 　　點的坐標滿足方程組 　　將①式代入②式，得， 　　整理得， 　　于是，． 　　由①式得 　　． 　　由知．將③式和④式代入得， 　　． 　　將代入上式，整理得． 　　當時，直線的方程為，的坐標滿足方程組 　　所以，． 　　由知，即， 　　解得． 　　這時，點的坐標仍滿足． 　　綜上，點的軌跡方程為． 　　解法二：設點的坐標為，直線的方程為，由，垂足為，可知直線的方程為． 　　記(顯然)，點的坐標滿足方程組 　　由①式得．③ 　　由②式得．④ 　　將③式代入④式得． 　　整理得， 　　于是．⑤ 　　由①式得．⑥ 　　由②式得．⑦ 　　將⑥式代入⑦式得， 　　整理得， 　　于是．⑧ 　　由知．將⑤式和⑧式代入得， 　　． 　　將代入上式，得． 　　所以，點的軌跡方程為．