證明以下命題:
(1)對(duì)任一正整數(shù),都存在正整數(shù),使得成等差數(shù)列;
(2)存在無(wú)窮多個(gè)互不相似的三角形,其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列.
存在無(wú)窮多個(gè)互不相似的三角形,其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列
證明:(1)易知成等差數(shù)列,故也成等差數(shù)列,
所以對(duì)任一正整數(shù),都存在正整數(shù),使得成等差數(shù)列.
(2)若成等差數(shù)列,則有,
                                        …… ①
選取關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式,例如,使得它可按兩種方式分解因式,由于

因此令,可得    …… ②
易驗(yàn)證滿足①,因此成等差數(shù)列,
當(dāng)時(shí),有
因此為邊可以構(gòu)成三角形.
其次,任取正整數(shù),假若三角形相似,則有:
,據(jù)比例性質(zhì)有:

所以,由此可得,與假設(shè)矛盾,
即任兩個(gè)三角形互不相似,
所以存在無(wú)窮多個(gè)互不相似的三角形,其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

(文)已知等差數(shù)列的公差是,是該數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)求證:
(2)利用(1)的結(jié)論求解:“已知、,求”;
(3)若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為,前項(xiàng)和為.試類比問(wèn)題(1)的結(jié)論,給出一個(gè)相應(yīng)的結(jié)論并給出證明.并利用此結(jié)論求解問(wèn)題:“已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,其中,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題


已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,
試求的值,由此推測(cè)的計(jì)算公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=2,且對(duì)任意m、nN*都有
a2m1a2n1=2amn1+2(mn)2
(Ⅰ)求a3,a5;
(Ⅱ)設(shè)bna2n1a2n1(nN*),證明:{bn}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)cn=(an+1an)qn1(q≠0,nN*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)等差數(shù)列滿足,
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求的前項(xiàng)和及使得最大的序號(hào)的值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知是首項(xiàng)為19,公差為-2的等差數(shù)列,的前項(xiàng)和.
(Ⅰ)求通項(xiàng);
(Ⅱ)設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題


設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足+15=0。
(Ⅰ)若=5,求及a1
(Ⅱ)求d的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

等差數(shù)列( )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知一組數(shù),按這組數(shù)的規(guī)律,應(yīng)為
A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案