Question

如圖，邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC，PA⊥平面ABC，PA=a，QC⊥平面ABC，QC=，PQ與AC延長(zhǎng)線(xiàn)交于F點(diǎn)．
（1）若D為PB中點(diǎn)，證明：QD∥平面ABC；
（2）證明：BF⊥平面PAB．

Answer 1

證明：（1）取AB中點(diǎn)E，連接DE，則DEPA，連接CE
∵PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，
∴PA∥QC，∴DEQC
∴四邊形DECQ為矩形
∴DQ∥CE，CE?面ABC，
∴DQ∥面ABC（6分）
（2）∵PA∥QC，且
∴C為AF中點(diǎn)
∴BF⊥BA
∵PA⊥面ABC?BF⊥面PAB（11分）
∴BF⊥PA（12分）
分析：（1）取AB中點(diǎn)E，連接DE、CE，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，及PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，易證明出四邊形DECQ為矩形，則DQ∥CE，由線(xiàn)面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）由（1）中PA∥QC，PA=a，QC=，易得到C為AF的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，可得BF⊥BA，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定中得BF⊥面PAB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面垂直的判定，直線(xiàn)與平面平行的判定，熟練掌握空間直線(xiàn)與平面平行及垂直的判定定理，幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．