如圖,邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC,PA⊥平面ABC,PA=a,QC⊥平面ABC,QC=數(shù)學(xué)公式,PQ與AC延長(zhǎng)線(xiàn)交于F點(diǎn).
(1)若D為PB中點(diǎn),證明:QD∥平面ABC;
(2)證明:BF⊥平面PAB.

證明:(1)取AB中點(diǎn)E,連接DE,則DEPA,連接CE
∵PA⊥面ABC,QC⊥面ABC,
∴PA∥QC,∴DEQC
∴四邊形DECQ為矩形
∴DQ∥CE,CE?面ABC,
∴DQ∥面ABC(6分)
(2)∵PA∥QC,且
∴C為AF中點(diǎn)
∴BF⊥BA
∵PA⊥面ABC?BF⊥面PAB(11分)
∴BF⊥PA(12分)
分析:(1)取AB中點(diǎn)E,連接DE、CE,根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理,及PA⊥面ABC,QC⊥面ABC,易證明出四邊形DECQ為矩形,則DQ∥CE,由線(xiàn)面平行的判定定理,即可得到答案.
(2)由(1)中PA∥QC,PA=a,QC=,易得到C為AF的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形性質(zhì),可得BF⊥BA,根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定中得BF⊥面PAB.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定,熟練掌握空間直線(xiàn)與平面平行及垂直的判定定理,幾何特征是解答本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,邊長(zhǎng)為a的正△ABC的中線(xiàn)AF與中位線(xiàn)DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形,現(xiàn)給出下列命題:①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線(xiàn)段AF上;②三棱錐A′-FED的體積有最大值;③恒有平面A′GF⊥平面BCED;
④異面直線(xiàn)A′E與BD不可能互相垂直;⑤異面直線(xiàn)FE與A′D所成角的取值范圍是(0,
π2
]
.其中正確命題的序號(hào)是
 
.(將正確命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,邊長(zhǎng)為a的正△ABC的中線(xiàn)AF與中位線(xiàn)DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形,現(xiàn)給出下列命題,其中正確的命題有
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
.(填上所有正確命題的序號(hào)) 
(1)動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線(xiàn)段AF上;
(2)三棱錐A′-FED的體積有最大值;
(3)恒有平面A′GF⊥平面BCED;
(4)異面直線(xiàn)A′E與BD不可能互相垂直.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013年山東濟(jì)寧泗水一中高二12月質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:填空題

如圖,邊長(zhǎng)為a的正△ABC的中線(xiàn)AF與中位線(xiàn)DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形,現(xiàn)給出下列四個(gè)命題:
①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線(xiàn)段AF上; 
②恒有平面A′GF⊥平面BCED;
③三棱錐A′—FED的體積有最大值;
④異面直線(xiàn)A′E與BD不可能互相垂直;
其中正確命題的序號(hào)是             

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011屆河南省許昌市三校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷 題型:填空題

如圖,邊長(zhǎng)為a的正△ABC的中線(xiàn)AF與中位線(xiàn)DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形,現(xiàn)給出下列命題,其中正確的命題有           (只需填上正確命題的序號(hào)).
①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線(xiàn)段AF上;
②三棱錐A′—FED的體積有最大值;
③恒有平面A′GF⊥平面BCED;
④異面直線(xiàn)A′E與BD不可能互相垂直;
⑤異面直線(xiàn)FE與A′D所成角的取值范圍是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年河南省許昌市三校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷 題型:填空題

如圖,邊長(zhǎng)為a的正△ABC的中線(xiàn)AF與中位線(xiàn)DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形,現(xiàn)給出下列命題,其中正確的命題有            (只需填上正確命題的序號(hào)).

    ①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線(xiàn)段AF上;

    ②三棱錐A′—FED的體積有最大值;

    ③恒有平面A′GF⊥平面BCED;

    ④異面直線(xiàn)A′E與BD不可能互相垂直;

    ⑤異面直線(xiàn)FE與A′D所成角的取值范圍是

 

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