Question

在二項(xiàng)式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．
（1）求展開式的常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，寫出展開式的通項(xiàng)，由“前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列”可得

C

0 n

，(

1

2

)

C

1 n

，(

1

2

)2

C

2 n

成等差數(shù)列，列方程可得n的值，在通項(xiàng)中，令

8-2r

3

=0，可得r=4，將其代入通項(xiàng)可得答案；
（2）由二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的求法，令x=1計(jì)算(

3	x

-

1

2 3 x

)n的大小，即可得答案．

解答：解：（1）展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-

1

2

)r

C

r n

x

n-2r

3

，r=0，1，2，…，n
由已知，

C

0 n

，(

1

2

)

C

1 n

，(

1

2

)2

C

2 n

成等差數(shù)列，
∴2×

1

2

C

1 n

=1+

1

4

C

2 n

，∴n=8．
要求常數(shù)項(xiàng)，令

8-2r

3

=0，可得r=4，
所以常數(shù)項(xiàng)為T5=

35

8

，
（2）在二項(xiàng)式(

3	x

-

1

2 3 x

)n中，令x=1可得，（1-

1

2

）⁸=

1

256

，
則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為

1

256

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，列出方程，求出n的值．