Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α，β (0＜α＜

π

2

， 

π

2

＜β＜π)的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

5

13

，

3

5

．
（Ⅰ）求tanβ的值；
（Ⅱ）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在單位圓中，根據(jù)B的縱坐標(biāo)，利用任意角的三角函數(shù)定義求出sinβ的值，進(jìn)而求出cosβ的值，即可確定出tanβ的值；
（Ⅱ）在單位圓中，根據(jù)A的縱坐標(biāo)，利用任意角的三角函數(shù)定義求出sinα的值，進(jìn)而求出cosα的值，∠AOB=β-α，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡sin（β-α），將各自的值代入求出sin∠AOB的值，再由|0A|與|OB|的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形AOB的面積．

解答：解：（I）∵在單位圓中，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

3

5

，
∴sinβ=

3

5

，
∵

π

2

＜β＜π，
∴cosβ=-

1-sin2β

=-

4

5

，
則tanβ=

sinβ

cosβ

=-

3

4

；
（II）∵在單位圓中，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

5

13

，∴sinα=

5

13

，
∵0＜α＜

π

2

，∴cosα=

1-sin2α

=

12

13

，
由（I）得sinβ=

3

5

，cosβ=-

4

5

，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=

56

65

，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|sin∠AOB=

28

65

．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．