已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,,n=2,3,4,…,
(Ⅰ)求a3,a4,a5的值;
(Ⅱ)設,n=1,2,3,…,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出其通項公式;
(Ⅲ)對任意的m≥2,m∈N*,在數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)的2m項構成等差數(shù)列?若存在,寫出這2m項,并證明這2m項構成等差數(shù)列;若不存在,說明理由。
解:(Ⅰ)因為a1=1,
所以a2=1+2a1=3,,a4=1+2a2=7,;
(Ⅱ)證明:由題意,對于任意的正整數(shù)n,,
所以,
,
所以,
,
所以{bn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,
所以bn=2n;
(Ⅲ)存在。
事實上,對任意的m≥2,k∈N*,
在數(shù)列{an}中,這連續(xù)的2m項就構成一個等差數(shù)列。
我們先來證明:“對任意的n≥2,n∈N*,k∈(0,2n-1),k∈N*,有”,
由(Ⅱ),得,
所以,
當k為奇數(shù)時,,
當k為偶數(shù)時,
,
因此要證
只需證明,
其中,k1∈N*,
(這是因為若,則當時,則k一定是奇數(shù))

;
時,則k一定是偶數(shù),

,
如此遞推,要證,
只要證明
其中,k2∈N*,
如此遞推下去,我們只需證明,
,
由(Ⅱ)可得,所以對n≥2,n∈N*,k∈(0,2n-1),k∈N*,
,
對任意的m≥2,m∈N*,
,其中i∈(0,2m-1),i∈N*,
所以,
,
所以,
所以這連續(xù)的2m項,是首項為,公差為的等差數(shù)列。
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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