Question

給出下列命題：
（1）常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
（2）實(shí)數(shù)等差數(shù)列中，若公差d＜0，則數(shù)列必是遞減數(shù)列；
（3）實(shí)數(shù)等比數(shù)列中，若公比q＞1，則數(shù)列必是遞增數(shù)列；
（4）

lim

n→∞

(

2

n

+

4n-1

4n

)=1；
（5）首項(xiàng)為a₁，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n=

a1(1-qn)

1-q

．其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：（1），（3），（5）可舉反例說明此命題為假命題；（2）根據(jù)通項(xiàng)公式，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷真假；（4）利用求極限的方法求出極限的值即可判斷命題的真假．即可得到正確命題的序號(hào)．

解答：解：（1）當(dāng)常數(shù)列的項(xiàng)都為0時(shí)，是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列，此命題為假命題；
（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d=dn+a₁-d為關(guān)于n的一次函數(shù)，由d＜0，得到數(shù)列必是遞減數(shù)列，此命題為真命題；
（3）取首項(xiàng)為-1，公比為2＞1的等比數(shù)列，但此數(shù)列是遞減數(shù)列，此命題為假命題；
（4）

lim

n→∞

(

2

n

+

4n-1

4n

)=

lim

n→∞

(

2

n

+1-

1

4n

)=

lim

n→∞

2

n

+

lim

n→∞

1-

lim

n→∞

1

4n

=1，所以此命題為真命題；
（5）當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比為1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式?jīng)]有意義，此命題為假命題．
所以正確命題的序號(hào)是：（2）（4）．
故答案為：（2）（4）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握數(shù)列的函數(shù)特征及利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的條件，理解極限的定義及會(huì)進(jìn)行極限的運(yùn)算，是一道中檔題．本題的解題思想是說明一個(gè)命題是假命題只需舉一個(gè)反例即可，但說明一個(gè)命題是真命題必須經(jīng)過證明．