Question

若a²+2b²=3（a＞0，b＞0），則a+2b的最大值為

 

．

Answer 1

分析：把已知的等式化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程變形，設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，進(jìn)而表示出a與b，把表示出的a與b代入所求的式子中，提取3后，利用兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域得到其最大值為1，即可得到所求式子的最大值．

解答：解：由a²+2b²=3，變形得：

a2

3

+

2b2

3

=1，即(

a

3

)2+(

2 3

b)2=1，
令

a

3

=cosx，

2 3

b=sinx，
∴a=

3

cosx，b=

3 2

sinx=

6

2

sinx，
則a+2b=

3

cosx+

6

sinx=3（

3

3

cosx+

2 3

3

sinx）=3sin（θ+x），（其中tanθ=

1

2

），
當(dāng)sin（θ+x）=1時(shí)，a+2b有最大值，最大值為3．
故答案為：3

點(diǎn)評：此題考查了橢圓的參數(shù)方程，三角函數(shù)的恒等變形以及正弦函數(shù)的值域．把已知的等式通過化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而表示出橢圓的參數(shù)方程是本題的突破點(diǎn)．