Question

在(2x2-

1

3 x

)8的展開式中．
求：
（1）第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
（2）第5項(xiàng)的系數(shù)；
（3）倒數(shù)第3項(xiàng)；
（4）含x⁹的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，在通項(xiàng)公式中，令r=4即可得到第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

C

4 8

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）在通項(xiàng)公式中，令r=4，求出未知數(shù)x的系數(shù)，即為所求．
（3）倒數(shù)第3項(xiàng)即為第7項(xiàng)，在通項(xiàng)公式中，令r=6，即可求出倒數(shù)第3項(xiàng)T6+1=

C

6 8

(2x2)2(-

1

3 x

)6，運(yùn)算求得結(jié)果．
（4）在通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于9，解得 r的值，即可求得含x⁹的項(xiàng)．

解答：解：（1）由于 (2x2-

1

3 x

)8的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C r 8 (2x2)8-r(- 1 3 x )r= C r 8 (-1)r28-rx16- 7r 3

，
在通項(xiàng)公式中，令r=4即可得到第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

C

4 8

=70．
（2）在通項(xiàng)公式中，令r=4，求出未知數(shù)x的系數(shù)，即為所求，故第5項(xiàng)的系數(shù)為

C

4 8

24(-1)4=1120，
（3）倒數(shù)第3項(xiàng)即為第7項(xiàng)，在通項(xiàng)公式中，令r=6，即可求出倒數(shù)第3項(xiàng) T6+1=

C

6 8

(2x2)2(-

1

3 x

)6=112x2．
（4）在通項(xiàng)公式

Tr+1= C r 8 (2x2)8-r(- 1 3 x )r= C r 8 (-1)r28-rx16- 7r 3

中，令x的冪指數(shù) 16-

7r

3

=9，解得 r=3．
故含x⁹的項(xiàng)為 T₄=

C

3 8

 （-1）³ x⁹=-179 x⁹．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．