Question

函數(shù)f（x）=

x-x3

x4+2x2+1

的最大值與最小值之積等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得f（x）為奇函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)可，x＞0時(shí)，f′（x）=

(1-3x2)(1+2x2+x4)(4x+4x3)

(x2+1)4

=

x4-6x2+1

(x2+1)3

結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，只要先考慮x＞0時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)f（x）在（0，

2

-1]，（

2

+1，+∞）上單調(diào)遞增，在（

2

-1，

2

+1）上單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（

2

-1）=

1

4

，f（x）_min=-f（x）max=-

1

4

根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可得f（x）_min=-f（x）max，代入可求

解答： 解：∵f（x）=

x-x3

x4+2x2+1

∴f（-x）=

x3-x

1+2x2+x4

=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=

(1-3x2)(1+2x2+x4)(4x+4x3)

(x2+1)4

=

x4-6x2+1

(x2+1)3

令f′（x）＞0可得x⁴-6x²+1＞0，即0＜x＜

2

-1，或x＞

2

+1
f′（x）＜0可得x⁴-6x²+1＜0，即

2

-1＜x＜

2

+1
∴f（x）在（0，

2

-1]，（

2

+1，+∞）上單調(diào)遞增，在（

2

-1，

2

+1）上單調(diào)遞減，
又∵

lim

x→∞

x-x3

x4+2x2+1

=

lim

x→∞

1 x3 - 1 x

1+ 2 x2 + 1 x4

=0，f（0）=0
∵f（

2

-1）＞0，f（

2

+1）＜0，
∴f（x）_max=f（

2

-1）=

1

4

，f（x）_min=-f（x）max=-

1

4

則最大值與最小值的積為

1

4

×（-

1

4

）=-

1

16

故答案為：-

1

16

點(diǎn)評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，其中奇函數(shù)的對稱性的利用及函數(shù)最大值的位置判斷是解答本題的關(guān)鍵