如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．
求證：（1）AD∥平面PBC；
（2）求PC與平面PBD所成的角．
分析：（1）利用線面平行的判定定理，由線線平行⇒線面平行．
（2）通過證線線垂直⇒線面垂直，來證射影，證線面角，再解三角形求解．
解答：解：（1）證明：∵底面ABCD為正方形，∴AD∥BC，
又∵AD?平面PBC，BC?平面PBC，∴AD∥平面PBC．
（2）連接AC、BD，交點為O，連接PO，
∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD
∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD
∴PO為PC在平面PBD中的射影，
∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角．
設(shè)PD=AD=1，PC=
2
，CO=
2
2
，
在Rt△POC中，sin∠CPO=
CO
PC
=
1
2
，∴∠CPO=
π
6

 故PC與平面PBD所成的角為30°．
點評：本題考查線面平行的判定與直線與平面所成的角．空間角的求法：1、作角（平行線或垂線）；2、證角（符合定義）；3、求角（解三角形）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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