Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（1）=0，且f（x+1）-f（x）=4x+3．
（1）求f（x）的解析式，
（2）若f（x）在區(qū)間[a，a+1]上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設出f（x）的解析式，根據(jù)f（1）=0，且f（x+1）-f（x）=4x+3構造系數(shù)的方程組，解得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進而結合f（x）在區(qū)間[a，a+1]上單調(diào)，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）設y=f（x）=ax²+bx+c，
∵f（1）=0且f（x+1）-f（x）=4x+3，
∴a+b+c=0且a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=4x+3，
∴2a=4，a+b=3，
解得a=2，b=1，c=-3，
函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=2x²+x-3，
（2）∵f（x）=2x²+x-3的圖象是開口朝上且以直線x=-

1

4

為對稱軸的拋物線，
若f（x）在區(qū)間[a，a+1]上單調(diào)，
則a≥-

1

4

，或a+1≤-

1

4

，
∴a≥-

1

4

，或a≤-

5

4

．

點評：本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．