Question

已知奇函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+1+a

定義域為R，其中a，b為常數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）若函數(shù)g（x）=log₂（bx²-3x+m）（m∈R）的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法,對數(shù)函數(shù)的定義域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）為奇函數(shù)得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出a，b，再檢驗f（x）為奇函數(shù)即可；
（2）由（1）得g（x）=log₂（x²-3x+m），又知其定義域為R，只要求x²-3x+m＞0，恒成立即可，即△＜0即可．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

即

b-1 2+a =0 b-2-1 1+a =- b-2 4+a

，
解得

a=2 b=1

，此時f（x）=

1-2x

2x+1+2

，經(jīng)檢驗可得f（-x）=-f（x），
故a=2，b=1．
（2）由（1）得g（x）=log₂（x²-3x+m）
∵函數(shù)g（x）=log₂（x²-3x+m）的定義域為R，
∴x²-3x+m＞0，恒成立即可，
∴△=9-4m＜0，
∴m＞

9

4

，
故m取值范圍為（

9

4

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運用，考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立的問題，屬于基礎(chǔ)題．