Question

已知拋物線C：y²=4x，直線l過拋物線的焦點(diǎn)F且與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限）
（1）若|AB|=10，求直線l的方程；
（2）過點(diǎn)A的拋物線的切線與直線x=-1交于點(diǎn)E，求證：EF⊥AB．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)F且與該拋物線相交的直線方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，求x₁+x₂，再根據(jù)拋物線中，焦點(diǎn)弦公式，求出k值，則拋物線方程可求．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出過點(diǎn)A的拋物線的切線斜率，設(shè)出切線方程，根據(jù)切線與直線x=-1交于點(diǎn)E，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，
計(jì)算

EF

•

FA

的值，若為0，則問題得證．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
（1）若l⊥x軸，則|AB|=4不適合
故設(shè)l：y=k（x-1），代入拋物線方程得k²x²-2（k²+2）x+k²
△=16k²+16＞0∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

．                   
由|AB|=x₁+x₂+2=

2(k2+2)

k2

+2=10，得k²=

2

3

直線l的方程為y=±

6

3

(x-1)
（2）當(dāng)y＞0時(shí)y′=

1

x

•切線的方程：y-y₁=

1

y1

(x-x1)得
E（-1，y1-

1+x1

x1

），

EF

=（2，

1+x1

x1

-y1），

FA

=（ x₁-1，y₁）  
 

EF

•

FA

=2（x₁-1）+（

1+x1

x1

-y1）y₁=2（x₁-1）+2（1+x₁）-4x₁=0
∴EF⊥FA，即EF⊥AB．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓位置關(guān)系中弦長公式的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)求拋物線斜率的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)．