Question

已知（1+mx）ⁿ（m∈R，n∈N^*）的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，且展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為80．
（1）求m，n的值；
（2）求（1+mx）ⁿ（1-x）⁶展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)2ⁿ=32求得n的值．在通項(xiàng)Tr+1=

C

r 5

mrxr(r=0，1，…，5)，令x的冪指數(shù)r=3，可得展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為

C

3 5

m3=80，從而求得m的值．
（2）本題即求（1+2x）⁵（1-x）⁶展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)，利用通項(xiàng)公式展開化簡可得展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答： 解：（1）由題意，2ⁿ=32，則n=5．
由通項(xiàng)Tr+1=

C

r 5

mrxr(r=0，1，…，5)，
令r=3，可得展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為

C

3 5

m3=80，所以m=2．
（2）即求（1+2x）⁵（1-x）⁶展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)，
(1+2x)5(1-x)6=[

C

0 5

+

C

1 5

(2x)1+

C

2 5

(2x)2+…](

C

0 6

-

C

1 6

x+

C

2 6

x2+…)
=（1+10x+40x²+…）（1-6x+15x²+…），
所以展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)為1×15+10×（-6）+40×1=-5．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．