Question

已知函數(shù)f ( x ) = log₂(a^x－b^x)（a > 0，a≠1，b>0，b≠1，a≠b）．

（Ⅰ）求證函數(shù)f ( x )的圖像總在一條與x軸垂直的直線的同側(cè)；

（Ⅱ）當a>1>b時，求證函數(shù)f ( x )圖像上任意兩點所決定的直線的傾斜角一定為銳角．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ） 由 ax－bx > 0，又b > 0  得． ∵ a > 0，a≠1，b>0，b≠1，a≠b． ∴ 當a > b時，可得 x > 0；    當 a < b時，可得x < 0 ． ∴ f ( x )的圖像總在直線x = 0的同側(cè)． （Ⅱ）設 A (x1，y1)，B (x2，y2) 是f ( x )圖像上任意兩點，則由a > 1 > b，故x1 > 0，x2 > 0，x1≠x2 ． 當 x1 < x2時，由a > 1，則 ． 由0<b <1，則 ． ∴ ，即 y1< y2． ∴  ． ∴ 直線AB的傾斜角為銳角． 當x1 > x2時，同理可證直線AB的傾斜角為銳角．

提示：

（Ⅰ）即確定函數(shù)定義域． （Ⅱ）即證明函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)．