Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）詳情見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，再分類(lèi)討論當(dāng)與時(shí)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)是x的取值范圍，即原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）分類(lèi)討論實(shí)數(shù)a在區(qū)間左邊，內(nèi)部和右邊三種情況，其中在且時(shí)，表示出函數(shù)的最大值發(fā)現(xiàn)此時(shí)不滿(mǎn)足題設(shè)要求；當(dāng)時(shí)，取特殊的，對(duì)，由此時(shí)的最大值發(fā)現(xiàn)此時(shí)不滿(mǎn)足題設(shè)要求；當(dāng)時(shí)，令，對(duì)任意的，總存在，使得，分析了單調(diào)性之后發(fā)現(xiàn)其等價(jià)于，從而構(gòu)造不等式組求得答案.

（1）∵，，

當(dāng)時(shí)，對(duì)，，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．

當(dāng)時(shí)，令，得，

∵時(shí)，，時(shí)，，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

綜上所述，時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）討論：

①當(dāng)且時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞減，則，

因?yàn)閷?duì)任意的，總存在，使得，

所以對(duì)任意的，不存在，使得

②當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

則

因?yàn)閷?duì)，對(duì)，

所以對(duì)，不存在，使得

③當(dāng)時(shí)，令，

由（1）知，在是增函數(shù)，進(jìn)而知是減函數(shù)，

所以，，

，

因?yàn)閷?duì)任意的，總存在，使得，

即，故有，即，

所以，解得，綜上，的值為．