Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=

3

，沿對(duì)角線BD將△BCD折起，使點(diǎn)C移到P點(diǎn)，且P在平面ABD上的射影O恰好在AB上．

（1）求證：PB⊥PA；
（2）求點(diǎn)A到平面PBD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明DA⊥平面PAB，PB⊥平面PAD，即可證明PB⊥PA；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求點(diǎn)A到平面PBD的距離．

解答： （1）證明：由題意可得，PO⊥平面ABD
∵DA?平面ABD，
∴PO⊥DA，
由題意可知，∠DAB=90°，即DA⊥AB，且PO∩AB=O，
∴DA⊥平面PAB，又BP?平面PAB，
∴DA⊥BP，
∵PB⊥PD，DA∩PD=D，
∴PB⊥平面PAD，
∴PA?平面PAD，
∴PB⊥PA；
（2）解：設(shè)點(diǎn)A到平面PBD的距離為h，則
△PBA中，AB=3

3

，PC=BC=

3

，∴PO=

2 6

3

，
∵S_△PBA=

1

2

×3

3

×

2 6

3

=3

2

，S_△PBD=

1

2

×3

3

×

3

=

9

2

，
∴由等體積可得

1

3

•

9

2

h=

1

3

•3

2

•

2 6

3

，
∴h=

8 3

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．