解:(1)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=3x
2+2bx+c
∵f(x)在x=1時(shí),有極值-1,
∴f′(1)=0,f(1)=-1
∴3+2b+c=0,1+b+c+2=-1
∴b=1,c=-5;…(3分)
(2)假設(shè)f(x)圖象在x=t處的切線與直線(b
2-c)x+y+1=0平行,
∵f′(t)=3t
2+2bt+c,直線(b
2-c)x+y+1=0的斜率為c-b
2,
∴3t
2+2bt+c=c-b
2,
∴3t
2+2bt+b
2=0
∴△=4b
2-12b
2=-8b
2,
又∵b≠0,∴△<0.
從而3t
2+2bt+b
2=0無解,因此不存在t,使f′(t)=c-b
2,
故f(x)圖象不存在與直線(b
2-c)x+y+1=0平行的切線.…(8分)
(3)∵|f′(x)|=|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/90543.png)
,
①若|-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/42866.png)
|>1,即b>3或b<-3時(shí),M應(yīng)為f′(-1)與f′(1)中最大的一個(gè),
∴2M≥|f′(-1)|+|f′(1)|≥|f′(-1)-f′(1)|≥|4b|>12
∴M>6>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
…(10分)
②若-3≤b≤0時(shí),2M≥|f′(-1)|+|f′(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/42866.png)
)|≥|f′(-1)-f′(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/42866.png)
)|=|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
(b-3)
2|≥3,
∴M≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
…(12分)
③若0<b≤3時(shí),2M≥|f′(1)|+|f′(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/42866.png)
)|≥|f′(1)-f′(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/42866.png)
)|=|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
(b+3)
2|>3,
∴M>
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綜上,M≥
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…(14分)
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用f(x)在x=1時(shí),有極值-1,建立方程,由此可求b、c的值;
(2)假設(shè)f(x)圖象在x=t處的切線與直線(b
2-c)x+y+1=0平行,從而f′(t)=c-b
2,利用方程△<0,可得結(jié)論;
(3)|f′(x)|=|
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,分類討論:①若|-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/42866.png)
|>1,即b>3或b<-3時(shí),M應(yīng)為f′(-1)與f′(1)中最大的一個(gè);②若-3≤b≤0時(shí),2M≥|f′(-1)|+|f′(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/42866.png)
)|;③若0<b≤3時(shí),2M≥|f′(1)|+|f′(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/42866.png)
)|,由此可得結(jié)論.
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查不等式的證明,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性強(qiáng).