Question

已知函數(shù)f（x）=，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求證：數(shù)列{是等差數(shù)列．
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若對一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1，，分別令n=1，2，3，能夠求出a₂，a₃，a₄．
（2）由，得=，由此能夠證明{}是等差數(shù)列．
（3）由=，得到，故b_n=a_n-1a_n=（-），利用裂項(xiàng)求和法得到S_n=，由此能夠求出對一切n∈N^*成立時(shí)最小正整數(shù)m的值．
解答：（1）解：由a₁=1，，
得a₂==，
a₃==，
a₄==．…（3分）
（2）證明：由，
得=，…（8分）
所以，{}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，…（9分）
（3）解：由（2）得=1+=，
∴，…-（10分）
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n-1a_n=（-），
當(dāng)n=1時(shí)，上式同樣成立，…（12分）

所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=
=，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190459965786634/SYS201310241904599657866021_DA/34.png">，
所以對一切n∈N^*成立，…（14分）
又隨n遞增，
且（1-）=，所以，
所以m≥2021，
∴m_min=2021．…（16分）
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查最小正整數(shù)的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握數(shù)列知識和不等式知識，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．