已知
a
與
b
的模均為2，且|m
a
+
b
|=
3
|
a
-m
b
|，其中m＞0
（1）用m表示
a
•
b
； 
（2）求
a
•
b
的最小值及此時(shí)
a
與
b
的夾角．
分析：（1）通過|m
a
+
b
|=
3
|
a
-m
b
|，列出方程，利用
a
與
b
的模均為2，即可求出
a
•
b
； 
（2）結(jié)合（1）利用基本不等式，求
a
•
b
的最小值，通過數(shù)量積公式直接求出
a
與
b
的夾角．
解答：解：（1）因?yàn)?span id="gqpfhco" class="MathJye">
a
與
b
的模均為2，|m
a
+
b
|=
3
|
a
-m
b
|
所以(m
a
+
b
)•(m
a
+
b
)=3(
a
-m
b
)•(
a
-m
b
)，
m2
a
2+
b
2+2m
a
•
b
=3
a
2+3m2
b
2-6m
a
•
b
，
即8m
a
•
b
=8+8m2；
∵m＞0
∴
a
•
b
=m+
1
m
．
（2）
a
•
b
=m+
1
m
≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)，
a
•
b
最小值為2，
此時(shí)
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ=2，
∴cosθ=
1
2
，
∴θ=
π
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積與向量的模的計(jì)算，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•大連一模）已知
a
、
b
均為單位向量，且|
a
+
b
|=
3
，則
a
與
b
的夾角為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•甘肅一模）（理科）已知球O的表面積為4π，A，B，C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C的球面距離均為
π
2
，|BC|=
3
，則球心O到平面ABC的距離為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•普陀區(qū)一模）如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A．由點(diǎn)A出發(fā)的射線l的斜率為k，且k為有理數(shù)．射線l與圓C相交于另一點(diǎn)B．
（1）當(dāng)r=1時(shí)，試用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)r=1時(shí)，試證明：點(diǎn)B一定是單位圓C上的有理點(diǎn)；（說明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn)．我們知道，一個(gè)有理數(shù)可以表示為
qp
，其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)）
（3）定義：實(shí)半軸長(zhǎng)a、虛半軸長(zhǎng)b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成？若能，請(qǐng)嘗試探索其構(gòu)造方法；若不能，試簡(jiǎn)述你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知
a
與
b
的模均為2，且|m
a
+
b
|=
3
|
a
-m
b
|，其中m＞0
（1）用m表示
a
•
b
； 
（2）求
a
•
b
的最小值及此時(shí)
a
與
b
的夾角．

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