Question

在等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差數(shù)列，a₂，b₂，a₃+2成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若S_n+a_n＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求常數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解方程可求q，d，代入等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)可求； 
（Ⅱ）S_n+a_n＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，可得3ⁿ+3n-3＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求出f（n）=3ⁿ+3n-3的最小值，即可求常數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0）．
由題意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解得d=q=3．                  
∴a_n=3n-2，b_n=2•3^n-1；
（Ⅱ）∵S_n+a_n＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，
∴3ⁿ+3n-3＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，
令f（n）=3ⁿ+3n-3，則f（n+1）-f（n）=2•3ⁿ-3＞0，
∴f（n）單調(diào)遞增，
∴m＜f（1）=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用基本量表示等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．．