Question

【題目】如圖，已知直線的右焦點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的射影依次為點(diǎn).

（Ⅰ）已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)。

①求橢圓的方程；

②若直線交軸于點(diǎn)，且，當(dāng)變化時(shí)，求的值；

（Ⅱ）連接，試探索當(dāng)變化時(shí)，直線是否相交于一定點(diǎn)？若交于定點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)并給予證明；否則說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）定點(diǎn).

【解析】

（1）①先由已知得以及，即可求出橢圓的方程；

②由直線交軸于點(diǎn)，設(shè)，由，知，然后由根與系數(shù)的關(guān)系能求出的值；
（2）當(dāng)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再猜想：當(dāng)變化時(shí)，相交于此定點(diǎn)．先利用斜率相等證明三點(diǎn)共線同理可得 三點(diǎn)共線，即可證明結(jié)論．

（Ⅰ）易知，

,設(shè)

又由

，同理

（Ⅱ）,先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線l⊥ox軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK中點(diǎn)N，且

猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)

證明：設(shè)，當(dāng)m變化時(shí)首先AE過定點(diǎn)N

A、N、E三點(diǎn)共線，

同理可得B、N、D三點(diǎn)共線

∴AE與BD相交于定點(diǎn)