Question

已知函數(shù)，（x∈R，a，b為實(shí)數(shù)）
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，求證：函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求a+b的最小值．

Answer 1

解：（I）∵f（1）=+a-b+1=0
∴b=a+
∴
∴
△=4a²+4（a+）=4+＞0
∴f′（x）=0必有兩個(gè)不同的實(shí)根，，
當(dāng)x∈（-∞，x₁），f′（x）＞0，
x∈（x₁，x₂），f′（x）＜0，
x∈（x₂，+∞），f′（x）＞0，
故f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)即f（x）不是單調(diào)函數(shù)．
（II）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)
∴函數(shù)在[-1，2]上有f′（x）≤0恒成立
即
∵a+b=（2a+b）+（b-4a）≥+×4=
∴a+b最小值為
分析：（I）根據(jù)x=1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)將b用a表示，然后研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f′（x）=0的根，然后判定函數(shù)的單調(diào)性即可；
（II）將函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)在[-1，2]上有f′（x）≤0恒成立，建立a、b的不等關(guān)系，然后利用a+b=（2a+b）+（b-4a）可求出所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．