Question

已知函數(shù)h（x）=ln（ax+b）在點(diǎn)M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）求m的取值范圍，使不等式對(duì)任意的n∈N^*都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)h（x）=ln（ax+b）在點(diǎn)M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0，h（1）=ln2，即可
求a，b的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=，設(shè)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，則φ′（x）=，可得φ（x）在x=0處取得極大值，從而可得函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)，于是當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0，由此可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）不等式等價(jià)于（n+m）ln（1+≤1，分離參數(shù)可得m≤，設(shè)G（x）=，利用導(dǎo)數(shù)法可求G（x）在（0，1]上的最小值，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得
∵函數(shù)h（x）=ln（ax+b）在點(diǎn)M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0
∴
∵h(yuǎn)（1）=ln2
∴l(xiāng)n（a+b）=ln2
∴a=1，b=1；
（Ⅱ）若f（x）=，定義域?yàn)椋?1，+∞）
f′（x）=
設(shè)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，則φ′（x）=
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在（-1，0）上為增函數(shù)；當(dāng)x＞0時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
∴φ（x）在x=0處取得極大值，而φ（0）=0，所以g′（x）＜0（x≠0）
∴函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)
于是當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）．
（Ⅲ）不等式等價(jià)于（n+m）ln（1+≤1，由1+＞1，知m≤
設(shè)G（x）=，則G′（x）=
∵ln²（1+x）-≤0，∴（1+x）ln²（1+x）-x²≤0
∴G′（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上為減函數(shù)
∴G（x）在（0，1]上的最小值為G（1）=
∴m的取值范圍為（-∞，]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最值．