已知橢圓數(shù)學(xué)公式，拋物線：x2=a2y．直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點F且與拋物線相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A，B為拋物線上兩個不同的點，l1，l2分別與拋物線相切于A，B，l1，l2相交于C點，弦AB的中點為D，求證：直線CD與x軸垂直．

（1）解：由題意，∵x2=a2y，∴y=，∴y′=
設(shè)切點為（x，），則，解得x=2，a2=4
∵直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點F，
∴c=1，可得b2=3
∴橢圓方程為
（2）證明：拋物線方程為：x2=4y，設(shè)A（x1，），B（x2，）（x1≠x2）
拋物線在A處的切線為y=，在B處的切線為y=
兩式相減可得=
∴，即
∵D為AB的中點，∴
∴xC=xD
∴直線CD與x軸垂直．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，設(shè)切點，利用直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點F且與拋物線相切，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)切點坐標，求得拋物線在A、B處的切線方程兩式相減，證明xC=xD，即可證得直線CD與x軸垂直．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查拋物線的切線，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定切線的斜率與方程，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心和拋物線C2的頂點都在坐標原點O，C1和C2有公共焦點F，點F在x軸正半軸上，且C1的長軸長、短軸長及點F到C1右準線的距離成等比數(shù)列．
（Ⅰ）當(dāng)C2的準線與C1右準線間的距離為15時，求C1及C2的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點F且斜率為1的直線l交C1于P，Q兩點，交C2于M，N兩點．當(dāng)|MN|=8時，求|PQ|的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

注意：第（3）小題平行班學(xué)生不必做，特保班學(xué)生必須做．
已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點，離心率e=
2
5
，過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)點M（m，0）是線段OF上的一個動點，且(
MA
+
MB
)⊥
AB
，求m的取值范圍；
（3）設(shè)點C是點A關(guān)于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C、B、N三點共線？若存在，求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省三明一中高三（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

注意：第（3）小題平行班學(xué)生不必做，特保班學(xué)生必須做．
已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點，離心率，過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)點M（m，0）是線段OF上的一個動點，且，求m的取值范圍；
（3）設(shè)點C是點A關(guān)于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C、B、N三點共線？若存在，求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓，拋物線：x2=a2y．直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點F且與拋物線相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A，B為拋物線上兩個不同的點，l1，l2分別與拋物線相切于A，B，l1，l2相交于C點，弦AB的中點為D，求證：直線CD與x軸垂直．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案