Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b的圖象在點(diǎn)p（1，0）處（即p為切點(diǎn)）的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求常數(shù)a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）由題目條件知，點(diǎn)P（1，0）為切點(diǎn)，且函數(shù)在改點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，從而建立關(guān)于a，b的方程，可求得a，b的值；
（2）由（1）確定了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的解析式，解不等式f'（x）＞0與f'（x）＜0，可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，討論t與區(qū)間（0，2]的位置關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³+ax²+b的圖象在點(diǎn)p（1，0）處（即p為切點(diǎn)）的切線與直線3x+y=0平行，
所以f'（1）=3+2a=-3，
∴a=-3．
又f（1）=a+b+1=0
∴b=2．
綜上：a=-3，b=2
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x²+2，f'（x）=3x²-6x．
令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．
又f（0）=2，f（3）=2
∴當(dāng)0＜t≤2時(shí)，f（x）的最大值為f（0）=2，最小值為f（t）=t³-3t²+2；
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，f（x）的最大值為f（0）=2，最小值為f（2）=-2；
當(dāng)t＞3時(shí)，f（x）的最大值為f（t）=t³-3t²+2，最小值為f（2）=-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值，最小值，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化題目條件的能力，屬于中檔題．