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如圖所示，△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA中點.

求證:(1)DE=DA;

(2)平面MBD⊥平面ECA;

(3)平面DEA⊥平面ECA.

證明：(1)取EC的中點F,連結DF.?

∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BC.?

∵CE=2BD,∴BD=CF.?

又∵BD∥CE,∴BDCF.?

∴BDFC是平行四邊形.∴BCDF.∴DF⊥EC.?

在Rt△EFD和Rt△DBA中,?

∵EF=12EC=BD,FD=BC=AB(∵△ABC是正三角形,∴BC=CA=AB),

∴Rt△FED≌Rt△DBA.∴DE=DA.?

另解：取AC中點N,連結BN、MN.?

∵△ABC是正三角形,∴BN⊥AC于N.?

又∵EC⊥面ABC,EC面CAE，?

∴面ACE⊥面ABC，交線為AC.?

∴BN⊥平面ACE.?

又∵M、N分別是AE、AC中點,?

在△ACE中,ME CE,?

又BD∥CE且2BD=CE，?

∴BD CE MN.?

∴四邊形BDMN是平行四邊形.∴MDBN.?

∴DM⊥平面ACE.?

又AE平面ACE,∴DM⊥AE于M.?

又∵M是AE中點,且MD⊥AE,∴DA=DE.?

(2)取CA的中點N,連結MN、BN,則MNEC.?

又∵BD∥EC,∴MNDB.?

∴N點在平面BDM內.?

∵EC⊥平面ABC,BN平面MBD.?

∴面MBN⊥平面ECA,

即平面MBD⊥平面ECA.?

(3)DM∥BN,BN⊥平面ECA,∴DM⊥平面ECA.?

又DM平面DEA,∴平面DEA⊥平面ECA.

練習冊系列答案
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精英家教網如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥底面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點，
求證：（1）DE=DA；
（2）面BDM⊥面ECA．

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（08年聊城市三模）（12分）   如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點.

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(Ⅱ)過點F(0，)的直線與曲線E交于P、Q兩點，設N(0，)(<0)，與的夾角為，若≤等恒成立，求的取值范圍;

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(1)求證：DE＝DA；

(2)求證：平面BDM⊥平面ECA；

(3)求證：平面DEA⊥平面ECA.

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