Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，，，且滿足.記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求的方程，并說(shuō)明是什么曲線；

（2）若，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓（不含左、右頂點(diǎn)）；（2）存在定點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，說(shuō)明，把這個(gè)等式用表示出來(lái)化簡(jiǎn)后即得；

（2）假設(shè)存在的定點(diǎn)符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去得的一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得， ，得，代入化簡(jiǎn)后分析所得式子與無(wú)關(guān)時(shí)的值，同時(shí)驗(yàn)證斜率不存在時(shí)，定點(diǎn)也滿足．

（1）由，得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則：

，化簡(jiǎn)得：，

曲線的方程為

是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓（不含左、右頂點(diǎn)）

（2）假設(shè)存在的定點(diǎn)符合題意

由題意知：直線的斜率分別為，

由題意及（1）知：直線與直線均不重合，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)

設(shè)其方程為，，

由，得直線的傾斜角互補(bǔ)，故

又

①

由消去，整理得：.

，又，②

代②入①得：③

當(dāng)時(shí)，又不恒為0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，③式成立

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，存在定點(diǎn)滿足題意.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)滿足，也符合題意.

綜上所述，在 軸上存在定點(diǎn)，使得.