(2013•資陽模擬)設f(x)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=-x2+4x.
(Ⅰ)求f(x)的解析式,并解不等式f(x)≥x;
(Ⅱ)設g(x)=2x-1+m,若對任意x1∈[-5,-1],總存在x2∈[2,5],使f(x1)=g(x2),求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)根據(jù)奇函數(shù)的性質可知,f(0)=0,令x<0,則-x>0,代入當x>0時,f(x)=-x2+4x中,即可得x<0的解析式,將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的性質,分x≥0和x<0兩種情況,分別對應它們的解析式求解不等式f(x)≥x,求解即可得到不等式f(x)≥x的解集;
(Ⅱ)根據(jù)當-5≤x≤-1時,求得f(x)的解析式,從而得到x1∈[-5,-1]時,f(x1)∈[-4,5],根據(jù)g(x)的單調性,即可得到g(x2)∈[2+m,16+m],將對任意x1∈[-5,-1],總存在x2∈[2,5],使f(x1)=g(x2),轉化為[-4,5]⊆[2+m,16+m],根據(jù)集合的子集的運算,列出不等式組,求解即可得到實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù),
∴當x=0時,f(x)=0,
設x<0,則有-x>0,
∵當x>0時,f(x)=-x2+4x,
∴f(-x)=-x2-4x,
又∵f(x)為奇函數(shù),
∴f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+4(-x)]=x2+4x,
∴f(x)的解析式為f(x)=
-x2+4x,x≥0
x2+4x,x<0.

當x≥0時,不等式f(x)≥x即為-x2+4x≥x,解得0≤x≤3,
當x<0時,不等式f(x)≥x即為x2+4x≥x,解得x≤-3,
故不等式f(x)≥x的解集是{x|x≤-3或0≤x≤3};
(Ⅱ)∵f(x)=
-x2+4x,x≥0
x2+4x,x<0.
,
∴當-5≤x≤-1時,f(x)=x2+4x=(x+2)2-4,
∴f(x)∈[-4,5],
∴x1∈[-5,-1]時,f(x1)∈[-4,5],
∵g(x)=2x-1+m是R上的增函數(shù),
∴當x2∈[2,5]時,g(x2)∈[2+m,16+m],
∵對任意x1∈[-5,-1],總存在x2∈[2,5]使f(x1)=g(x2),
∴[-4,5]⊆[2+m,16+m],
2+m≤-4
16+m≥5
,解得-11≤m≤-6,
故實數(shù)m的取值范圍是[-11,-6].
點評:本題考查了求函數(shù)的解析式,函數(shù)的恒成立問題,二次函數(shù)的性質.求函數(shù)解析式常見的方法有:待定系數(shù)法,換元法,湊配法,消元法等.對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結合的應用,注意抓住二次函數(shù)的開口方向,對稱軸,以及判別式的考慮.對于不等式的恒成立問題,一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結合法進行求解,函數(shù)的恒成立問題,經(jīng)常轉化為函數(shù)值域之間的子集關系,運用集合的運算進行求解.屬于中檔題.
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