Question

19．已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥C₁F；
（2）求異面直線A₁C與C₁F所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，建立空間直線坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE⊥C₁F．
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-a，a，-a），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（a，-$\frac{a}{2}$，0），利用向量法能求出異面直線A₁C與C₁F所成角的余弦值．

解答 證明：（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直線坐標(biāo)系
∵棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為A₁B₁的中點(diǎn)．
∴D（0，0，0），E（$\frac{a}{2}$，a，0），
C₁（0，a，a），F(xiàn)（a，$\frac{a}{2}$，a），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{a}{2}，a，0$），
$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（a，-$\frac{a}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{{C}_{1}F}$=$\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}}{2}+0=0$，
∴DE⊥C₁F．
解：（2）A₁（a，0，a），
C（0，a，0），C₁（0，a，a），
F（a，$\frac{a}{2}$，a），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-a，a，-a），
$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（a，-$\frac{a}{2}$，0），
設(shè)異面直線A₁C與C₁F所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{C}_{1}F}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{{C}_{1}F}|}$=$\frac{\frac{3}{2}{a}^{2}}{\sqrt{3}a•\sqrt{\frac{5}{4}}a}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴異面直線A₁C與C₁F所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查異面直線所成角和余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．