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已知雙曲線C：（1－）＋＝（a＞1），設該雙曲線上支的頂點為A，且上支與直線y＝－x相交于P點，一條以A為焦點，M（0，m）為頂點，開口向下的拋物線通過點P，設直線PM的斜率為k，且≤k≤，求實數a的取值范圍．

 

答案：
解析：

解  由雙曲線方程知，頂點A的坐標為（0，1），從而拋物線方程為

　　＝－4（m－1）（y－m）．

　　由，

　　得P點坐標為（－a，a）．

　　∵  點P在拋物線上，

　　∴  ＝－4（m－1）（a－m）                  ①

　　由MP的斜率k＝，得m＝ak＋a，

　　代入①，得＝－4（ak＋a－1）（－ak），

　　即＋4（a－1）k－a＝0                     ②

　　由題設知，方程②在區(qū)間[，]上有實根．

　　令f（k）＝＋4（a－1）k－a，

　　則對稱軸＜0＜．

　　∴  f（k）在區(qū)間[，]上有實根的充要條件是，

　　解得≤a≤4．

　　故所求實數a的取值范圍是[，4]．

點評  由②式也可以得到，易知該函數在區(qū)間[，]上是減函數，從而轉化為求函數的值域問題．

 


練習冊系列答案
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A.1條                          B.2條                          C.3條                          D.4條

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（12分）已知雙曲線C：，                

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,求λ的取值范圍；

(3) 已知點D、E、M的坐標分別為(－2，－1)、(2，－1)、(0,1)，P為雙曲線C上在第一象限內的點．記l為經過原點與點P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長．試將s表示為直線l的斜率k的函數．

 

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