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已知雙曲線C:(1-a1),設該雙曲線上支的頂點為A,且上支與直線y=-x相交于P點,一條以A為焦點,M(0,m)為頂點,開口向下的拋物線通過點P,設直線PM的斜率為k,且k,求實數a的取值范圍

 

答案:
解析:

解  由雙曲線方程知,頂點A的坐標為(0,1),從而拋物線方程為

  =-4(m-1)(ym

  由

  得P點坐標為(-a,a

  ∵  點P在拋物線上,

  ∴  =-4(m1)(am)                  ①

  由MP的斜率k,得maka

  代入①,得=-4(aka-1)(-ak),

  即+4(a-1)ka=0                     ②

  由題設知,方程②在區(qū)間[,]上有實根

  令fk)=+4(a-1)ka,

  則對稱軸<0<

  ∴  fk)在區(qū)間[,]上有實根的充要條件是

  解得a≤4

  故所求實數a的取值范圍是[,4]

點評  由②式也可以得到,易知該函數在區(qū)間[,]上是減函數,從而轉化為求函數的值域問題

 


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(12分)已知雙曲線C:,                

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,求λ的取值范圍;

(3) 已知點D、E、M的坐標分別為(-2,-1)、(2,-1)、(0,1),P為雙曲線C上在第一象限內的點.記l為經過原點與點P的直線,s為△DEM截直線l所得線段的長.試將s表示為直線l的斜率k的函數.

 

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