Question

已知函數(shù)f(x)=

2

3

x3-2x2+(2-a)x+1，其中a∈R．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=2代入解析式，再求出導(dǎo)數(shù)，再求出切線的斜率f′（1）和f（1），代入點(diǎn)斜式方程再化為一般式；
（2）由題意求出導(dǎo)數(shù)并配方，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)：a≤0和a＞0討論，再a＞0情況下再分類(lèi)，求出對(duì)應(yīng)的臨界點(diǎn)，判斷出在[2，3]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，最后在用分段函數(shù)的形式表示出來(lái)．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=

2

3

x3-2x2+1，
則f′（x）=2x²-4x，故切線的斜率k=f′（1）=-2，
又∵f(1)=-

1

3

，∴切線方程為 y+

1

3

=-2(x-1)，
即6x+3y-5=0．
（2）由題意得f′（x）=2x²-4x+2-a=2（x-1）²-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，
則f（x）_max=f（3）=7-3a，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=1±

a 2

①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，則f（x）_max=f（3）=7-3a
②當(dāng)2＜a＜8時(shí)，f（x）在(2，1+

a 2

)上單調(diào)遞減，在(1+

a 2

，3)上單調(diào)遞增，
比較f（2）與f（3）的大小，令f（2）＞f（3），

16

3

-8+2(2-a)+1＞

54

3

-18+3(2-a)+1，
解得a＞

14

3

，
③當(dāng)a≥8時(shí)，f（x）在[2，3]上單調(diào)遞減，f(x)max=f(2)=

7

3

-2a
綜上，f(x)max=

7 3 -2a，a＞ 14 3 7-3a，a≤ 14 3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值之間的關(guān)系，考查了分類(lèi)討論思想和做差法比較大小，屬于中檔題．