Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若對于n∈N^*，都有a_n+1=a_n成立，求實數(shù)a的值；
（2）若對于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足，．求證：當(dāng)a為數(shù)列{b_n}中的任意一項時，數(shù)列{a_n}必有相應(yīng)一項的值為1．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n+1=a_n=a，可得方程，進而可求實數(shù)a的值；
（2）由于對于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，故可建立不等式，從而有a_n＜0或2＜a_n＜3，再作分類討論即可．
（3）由于數(shù)列{b_n}滿足，．所以：，不妨設(shè)b_k=a，不斷使用條件可證．
解答：解：（1）由a_n+1=a_n=a，得：
所以a=2或a=3（檢驗符合題意）
（2）由a_n+1＞a_n得，；
所以a_n＜0或2＜a_n＜3．
ⅰ）當(dāng)a₁＜0時，；，不滿足條件；
ⅱ）當(dāng)2＜a₁＜3時，
同理a₃∈（2，3），…a_n∈（2，3），

所以a_n+1＞a_n成立，滿足題意．
綜上，a∈（2，3）
（3）由于數(shù)列{b_n}滿足，．
所以：，不妨設(shè)b_k=a，
a₂=b_k-1，
a₃=b_k-2；
…
；
．
所以結(jié)論成立．
點評：本題的考點是數(shù)列與函數(shù)的綜合．主要考查利用數(shù)列知識解決不等式問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的難度．