Question

（類型A）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．
（類型B）已知函數(shù)f（x）=x³-ax+1，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（類型A）（1）f（x）=x³+ax²+x+1∴f'（x）=3x²+2ax+1
當a²≤3時，即 時，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增．
當a²＞3時，即 或 時，△＞0，f'（x）=0求得兩根為
即f（x）在 ，上遞增，在 遞減．
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在 恒成立．
即 在 恒成立．
可知 在 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)． ．
所以a≥2．a(chǎn)的取值范圍是[2，+∞）．
（類型B）（1）f（x）=x³-ax+1∴f'（x）=3x²-a
當a≤0時，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增．
當a＞0時，f'（x）=0求得兩根為x=±
即f（x）在（-∞，），（，+∞）上遞增，在（，）遞減．
（2）f'（x）=3x²-a≤0在 恒成立．
即a≥3x²在 恒成立．
可知3x²在（-，）上為減函數(shù)，
所以a≥．a(chǎn)的取值范圍是[，+∞）．
分析：（類型A）（1）求出函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，對參數(shù)a的范圍進行討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，即導(dǎo)數(shù)在在區(qū)間內(nèi)恒小于0由二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化出關(guān)于參數(shù)的不等式，解出a的取值范圍．
（類型B））（1）求出函數(shù)f（x）=x³-ax+1，對參數(shù)a的范圍進行討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先由函數(shù)求導(dǎo)，再由“函數(shù)f（x）在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)”轉(zhuǎn)化為“f'（x）=3x²-a≤0在 恒成立”，進一步轉(zhuǎn)化為最值問題：3x²≤a在 恒成立，求得函數(shù)的最值即可．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解本題的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于第一問要注意到參數(shù)的取值范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響故需要對參數(shù)分類討論，而第二問中關(guān)鍵是把函數(shù)是減函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立的問題，轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學在應(yīng)用很廣泛．