分析 (1)按照三視圖所在的平面兩兩垂直,看不見的線用虛線,看得見的用實(shí)線畫出.
(2)由EC∥PD,得EC∥平面PDA,同時(shí),有BC∥平面PDA,因?yàn)镋C?平面EBC,BC?平面EBC且EC∩BC=C,得到平面BEC∥平面PDA,進(jìn)而有BE∥平面PDA.
(3)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-PB-E的余弦值.
解答 解:(1)該組合體的主視圖和側(cè)視圖如圖示:
證明:(2)∵EC∥PD,PD?平面PDA,EC?平面PDA,
∴EC∥平面PDA,
同理可得BC∥平面PDA,
∵EC?平面EBC,BC?平面EBC,且EC∩BC=C,
∴平面BEC∥平面PDA,
又∵BE?平面EBC,∴BE∥平面PDA.
解:(3)∵底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PC,且PD=AD=2EC=2,
∴以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
A(2,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,2,1),
→PA=(2,0,-2),→PB=(2,2,-2),→PE=(0,2,-1),
設(shè)平面APB的法向量→n=(x,y,z),
則{→n•→PA=2x−2z=0→n•→PB=2x+2y−2z=0,取x=1,得→n=(1,0,1),
設(shè)平面PBE的法向量→m=(a,b,c),
則{→m•→PB=2a+2b−2c=0→m•→PE=2b−c=0,取b=1,得→m=(1,1,2),
設(shè)二面角A-PB-E的平面角為θ,
則cosθ=|→m•→n||→m|•|→n|=3√2•√6=√32.
∴二面角A-PB-E的余弦值為√32.
點(diǎn)評 本題主要考查空間幾何體的三視圖,二面角的余弦值和線線,線面,面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化,考查很全面,靈活,屬中檔題.
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