已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，圓.過點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．

（1）雙曲線的方程為；（2）是定值，且.

解析試題分析：（1）先利用拋物線的定義求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入拋物線的方程并結(jié)合點(diǎn)所在的象限得到點(diǎn)的坐標(biāo)，先計(jì)算出的長度，然后利用雙曲線的定義計(jì)算出的值，由確定的值，從而得到雙曲線的方程；（2）對(duì)直線的斜率存在與否分兩種情況討論，對(duì)直線的斜率不存在時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，在直線的斜率存在時(shí)，先假設(shè)直線的方程，然后根據(jù)直線與的位置關(guān)系得到直線的方程，并求出圓心到兩直線的距離，根據(jù)圓的半徑長、直線截圓的弦長和圓心距三者之間的關(guān)系求出兩直線截圓的弦長、，并進(jìn)行驗(yàn)證是否為定值.
試題解析：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，
∴雙曲線的焦點(diǎn)為、，                  1分
設(shè)在拋物線上，且，
由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，          3分
∴，                  4分
又∵點(diǎn)在雙曲線上，由雙曲線定義得：
，∴， ∴雙曲線的方程為：．            6分
（2）為定值．下面給出說明．
設(shè)圓的方程為：， ∵圓與直線相切，
∴圓的半徑為，故圓：．             7分
顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意，                  8分
設(shè)的方程為，即，
設(shè)的方程為，即，
∴點(diǎn)到直線的距離為，
點(diǎn)到直線的距離為，                  10分
∴直線被圓截得的弦長， &n

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
(1)求橢圓方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B， M為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ).若，求拋物線的方程；
(Ⅱ).求△ABM面積的最大值.

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已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：，過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于A，B兩點(diǎn)。
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（2）求的取值范圍；
（3）將表示為的函數(shù)，并求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，、、是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)().

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線相交于，兩點(diǎn)

（Ⅰ）若線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的方程；
（Ⅱ）若線段，求直線的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍；

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