已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），過點(diǎn)(-
3
，
1
2
)離心率e=
3
2
，
（1）求橢圓方程；
（2）若過點(diǎn)（1，0）的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，試求直線l的方程．
分析：（1）由題意可得
3
a2
+
1
4b2
=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解出即得a，b；
（2）設(shè)直線方程為x-1=my，代入橢圓消掉x可得y的二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由以AB為直徑的圓過原點(diǎn)知，
OA
•
OB
=0，即x1x2+y1y2=0，代入韋達(dá)定理即得m的方程，解出可得直線方程；
解答：解：（1）由題意得，
3
a2
+
1
4b2
=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得
a2=4
b2=1
，
所以橢圓方程為：
x2
4
+y2=1．
（2）設(shè)直線方程為x-1=my，
代入橢圓方程消掉x得，（m2+4）y2+2my-3=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則y1+y2=-
2m
m2+4
，y1y2=-
3
m2+4
，
所以x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1=
4-4m2
m2+4
，
由以AB為直徑的圓過原點(diǎn)知，
OA
•
OB
=0，即x1x2+y1y2=0，
所以
4-4m2
m2+4
+
-3
m2+4
=0，解得m=±
1
2
，
所以直線方程為：x-1=±
1
2
y，化簡得，y=2x-2 或 y=-2x+2．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案