Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對于所有的正整數(shù)n，a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng).

（1）寫出{a_n}的前3項(xiàng)；

（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式.

Answer 1

（1）解：由題意知，當(dāng)n=1時(shí)，有=，S₁=a₁，所以=，解得a₁=2.

當(dāng)n=2時(shí)，有=，S₂=a₁+a₂=2+a₂，

代入整理得

（a₂-2）²=16.

由a₂>0得a₂=6.

當(dāng)n=3時(shí)，有=，S₃=a₁+a₂+a₃=8+a₃，

代入整理有（a₃-2）²=64.由a₃>0得a₃=10.

故該數(shù)列前3項(xiàng)依次為2，6，10.

（2）解法一：由（1）猜想{a_n}有通項(xiàng)公式a_n=4n-2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，4×1-2=2.

所以當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k=4k-2.

由題意=，將a_k=4k-2代入，解得S_k=2k²                              ①

由題意得=，                                                                 ②

S_k+1=S_k+a_k+1=2k²+a_k+1，                                                                 ③

把①③代入②得a_k+1²-4a_k+1+4-16k²=0.

又a_k+1>0，所以a_k+1=2+4k=4（k+1）-2，

所以n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

根據(jù)①②知，對所有的正整數(shù)n均有a_n=4n-2.

解法二：由已知=，得S_n=（a_n+2）²，

所以S_n+1=（a_n+1+2）².

所以a_n+1=S_n+1-S_n=［（a_n+1+2）²-（a_n+2）²］，

整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0.

又a_n+1+a_n>0,

所以a_n+1-a_n-4=0,即a_n+1-a_n=4.

所以{a_n}是等差數(shù)列,其中a₁=2,

公差d=4,

所以a_n=a₁+（n-1）d

=2+（n-1）×4=4n-2.