Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a為常數(shù)）．
（1）如果函數(shù)y=f（x）和y=g（x）有相同的極值點，求a的值；
（2）若方程f（x）=1恰有3個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設a＞0，問是否存在，使得f（x₀）＞g（x₀），若存在，請求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，則f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，得x=a或，而g（x）在x=處有極大值，
∴=a或=
∴a=-1或a=3；
（2）根據(jù)題意，方程f（x）-1=0恰有3個不同的根
1°當即a＜0時，f（x）在x=a處取得極大值，而f（a）=0，不符合題意，舍去；
2°當即a=0時，不符合題意，舍去；
3°當即a＞0時，f（x）在x=處取得極大值，f（）＞1，
∴a＞
（3）假設存在，即存在，使得f（x）-g（x）=x（x-a）²-[-x²+（a-1）x+a]=x（x-a）²+（x-a）（x+1）=（x-a）[x²+（1-a）x+1]＞0，
當時，又a＞0，故x-a＜0，
則存在，使得x²+（1-a）x+1＜0，
1°當＞ 即a＞3時，（）²+（1-a）×+1＜0得a＞3或a＜-，∴a＞3；
2°當-1≤≤，即0＜a≤3時，＜0得a＜-1或a＞3，∴a無解；
綜上：a＞3．
分析：（1）對函數(shù)f（x）求導，由f'（x）=0，可得=a或，而g（x）在x=處有極大值，故可建立方程，即可求得結論；
（2）根據(jù)題意，方程f（x）-1=0恰有3個不同的根，比較極值點的大小，即可得到結論；
（3）假設存在，存在，使得使得f（x）-g（x）＞0，由及a＞0，可得x-a＜0，從而使得x²+（1-a）x+1＜0，結合二次函數(shù)的性質求解
點評：本題主要考查了導數(shù)在求解極值中的應用，解得本題不但要熟練掌握函數(shù)的導數(shù)的相關的知識，還要具備一定的邏輯推理的能力，屬于中檔題．